Hodographe du mouvement képlérien

Cette applet montre comment les conditions initiales influent sur la nature de la conique décrite par un point P lorsqu'il est attiré par un centre F selon la loi de Newton, la constante d'attraction étant égale à µ. Le mouvement correspondant permet de construire l'hodographe.

Pour le calcul de l'orbite, on considère une position initiale  Po située à la distance ro de F, avec une vitesse initiale Vo orthogonale à  FPo ; cette position initiale est donc sur le grand axe de la conique, soit au péricentre, soit à l'apocentre.  Le calcul de la constante des aires G = ro Vet celle de l'énergie 2h = V²o - 2µ/ro  permettent d'en déduire le paramètre  p = G²/µ  et  le demi-grand axe  a = -µ/(2h) . Pour h < 0, c'est une ellipse et pour h > 0 une hyperbole, le cas  h = 0 donnant une parabole (construite ici comme une ellipse dont le second foyer est rejeté à l'infini). On voit donc que  a  est ici positif pour l'ellipse et négatif pour l'hyperbole, ce qui permet de calculer dans tous les cas l'excentricité  e  à partir de    e = 1 -  ro/a ; on peut alors  tracer la conique correspondante à partir de ses foyers :  le second foyer F' est symétrique de F par rapport au centre  C  de la conique,  C étant obtenu comme extrémité d'un vecteur de longueur  a  issu de Po  dans le sens opposé au vecteur  FPo  pour l'ellipse et dans le même sens que ce vecteur pour l'hyperbole.

En modifiant les valeurs de Mu, de ro ou de Vo, on voit les changements de nature de la conique.
Le point courant P qui décrit cette conique a sa vitesse tangente à la trajectoire, dans le sens du mouvement défini par  Vo ; sa valeur V est donnée par l'intégrale de l'énergie : V² = 2(µ/r + h). En reportant ce vecteur vitesse à partir d'un point fixe H, on voit que lorsque P se déplace sur la conique, l'extrémité du vecteur issu de H décrit un cercle de centre O et de rayon OV ; le vecteur  OV  est en permanence orthogonal au rayon vecteur  FP, tandis que  OH  est fixe, orthogonal au grand axe de la conique; le rapport OH / OV est constant, égal à l'excentricité e de la conique. La longueur de OV vaut G/p ou µ/G . Noter la position du pôle  H  de l'hodographe par rapport au cercle-hodographe suivant que l'orbite est une ellipse, un cercle, une parabole ou une hyperbole. Noter aussi la trajectoire limite lorsque  V  tend vers zéro.

Remarque : Dans cette animation, le rayon vecteur tourne d'un mouvement uniforme. Ce n'est pas la réalité car d'après la loi des aires, la vitesse angulaire de ce vecteur varie comme 1 / r2 (voir  le mouvement réel  elliptique  ou  hyperbolique)

Luc Duriez