Hodographe du mouvement képlérien

Cette applet montre comment les conditions initiales influent sur la nature de la conique décrite par un point P lorsqu'il est attiré par un centre F selon la loi de Newton, la constante d'attraction étant égale à µ. Le mouvement correspondant permet de construire l'hodographe.

Pour le calcul de l'orbite, on considère une position initiale  P_o située à la distance r_o de F, avec une vitesse initiale V_o orthogonale à  FP_o ; cette position initiale est donc sur le grand axe de la conique, soit au péricentre, soit à l'apocentre.  Le calcul de la constante des aires G = r_o V_o  et celle de l'énergie 2h = V²_o - 2µ/r_o  permettent d'en déduire le paramètre  p = G²/µ  et  le demi-grand axe  a = -µ/(2h) . Pour h < 0, c'est une ellipse et pour h > 0 une hyperbole, le cas  h = 0 donnant une parabole (construite ici comme une ellipse dont le second foyer est rejeté à l'infini). On voit donc que  a  est ici positif pour l'ellipse et négatif pour l'hyperbole, ce qui permet de calculer dans tous les cas l'excentricité  e  à partir de    e = 1 -  r_o/a ; on peut alors  tracer la conique correspondante à partir de ses foyers :  le second foyer F' est symétrique de F par rapport au centre  C  de la conique,  C étant obtenu comme extrémité d'un vecteur de longueur  a  issu de P_o  dans le sens opposé au vecteur  FP_o  pour l'ellipse et dans le même sens que ce vecteur pour l'hyperbole.

En modifiant les valeurs de Mu, de r_o ou de V_o, on voit les changements de nature de la conique.
Le point courant P qui décrit cette conique a sa vitesse tangente à la trajectoire, dans le sens du mouvement défini par  V_o ; sa valeur V est donnée par l'intégrale de l'énergie : V² = 2(µ/r + h). En reportant ce vecteur vitesse à partir d'un point fixe H, on voit que lorsque P se déplace sur la conique, l'extrémité du vecteur issu de H décrit un cercle de centre O et de rayon OV ; le vecteur  OV  est en permanence orthogonal au rayon vecteur  FP, tandis que  OH  est fixe, orthogonal au grand axe de la conique; le rapport OH / OV est constant, égal à l'excentricité e de la conique. La longueur de OV vaut G/p ou µ/G . Noter la position du pôle  H  de l'hodographe par rapport au cercle-hodographe suivant que l'orbite est une ellipse, un cercle, une parabole ou une hyperbole. Noter aussi la trajectoire limite lorsque  V_o   tend vers zéro.

Remarque : Dans cette animation, le rayon vecteur tourne d'un mouvement uniforme. Ce n'est pas la réalité car d'après la loi des aires, la vitesse angulaire de ce vecteur varie comme 1 / r² (voir  le mouvement réel  elliptique  ou  hyperbolique)