Mouvement képlérien elliptique

Cette applet montre le mouvement d'un point en fonction du temps lorsqu'il décrit une orbite képlérienne elliptique de foyer  F, de demi-grand axe  a  et d'excentricité  e.
 
 


Sur la construction suivante, on place le point mobile sur l'ellipse en fonction de la valeur de l'anomalie moyenne  M = n (t - t0) où  n  est la vitesse angulaire moyenne (soit encore 2p/T où T  est la période du mouvement);  n  est calculable par la troisième loi de Kepler : n2 a3 = µ  (µ vaut  4p2 si  a est mesuré en unités astronomiques et le temps en années).

La position du mobile sur l'orbite est définie par des coordonnées polaires (r, v) où l'angle  v  est appelé anomalie vraie. Cet angle peut être déduit d'un autre angle E   appelé  anomalie excentrique,  par la formule :

v = 2 arctan( sqrt((1+e)/(1-e)) tan(E/2))

Enfin  E dépend du temps par l'intermédiaire de l'équation de Kepler :

M = E - e sin(E)

La construction de l'angle  v en fonction de  M  s'opère en déterminant  E  solution de l'équation de Kepler et en reportant cette valeur sur le cercle principal de l'ellipse dans le sens direct à partir du péricentre; de ce point du cercle on abaisse la perpendiculaire au grand axe de l'ellipse, laquelle coupe l'ellipse au point  v  recherché et on trace le vecteur  Fv qui fait l'angle  v  avec la direction du péricentre.

Pour trouver  E  en fonction de  M, il faut inverser l'équation de Kepler. On utilise ici la méthode de Newton qui, pour une équation  f(x)=0 , détermine  x  à partir d'une valeur approchée  x0 , par itérations :  xi+1 = xi - f(xi) / f '(xi) ,  ce qui donne ici :

Ei+1   =  Ei -  ( Ei - e sin( Ei ) - M) / (1 - e cos( Ei ))
On démarre les itérations avec  E0 = M . La convergence est quadratique pour tout  M  tant que  e  n'est pas trop voisin de  1, comme on peut le vérifier sur l'animation ci-dessus.

Le plus souvent, 3 ou 4 itérations suffisent (on peut arréter l'animation en cliquant sur la figure et l'on peut alors déplacer "à la main" le point M sur le vecteur horizontal placé en bas).
Faire tendre  l'excentricité de l'ellipse vers zéro ou vers  1  pour voir la vitesse de convergence des itérations en fonction de la valeur de  M .
On observe aussi  sur ce mouvement la conséquence de la loi des aires, la vitesse du mobile étant maximum au péricentre et minimum à l'apocentre (la vitesse orthoradiale est proportionnelle à 1/r ). Pour analyser cette vitesse, voir l' hodographe  du mouvement képlérien.

LucDuriez