Mouvement képlérien hyperbolique

Cette applet montre le mouvement d'un point en fonction du temps lorsqu'il décrit une orbite képlérienne hyperbolique de foyer  F, de demi-grand axe  a  et d'excentricité  e.
 
 

Sur la construction suivante, on place le point mobile sur l'hyperbole en fonction de la valeur de l'angle  M = n (t - t0)  où  t0  est l'instant de passage au péricentre et où  n  est une vitesse angulaire constante calculable comme dans le cas elliptique par la troisième loi de Kepler : n2 a3 = µ  (µ vaut  4p2 si  a  est mesuré en unités astronomiques et le temps en années).

La position sur l'orbite est définie par des coordonnées polaires (r, v) où l'angle  v  est appelé anomalie vraie. Cet angle peut être déduit d'une variable auxiliaire  E ,  par la formule :

v = 2 arctan( sqrt((e+1)/(e-1)) tanh(E/2))

où  E dépend du temps par l'intermédiaire de l'équation de Kepler du mouvement hyperbolique:

M = e sinh(E) - E

Géométriquement, la construction de l'angle  v en fonction de  M  s'opère en déterminant  E , solution de l'équation de Kepler, et en plaçant le point  v'  à l'ordonnée   a sinh(E)   sur l'hyperbole équilatère d'équation paramétrique

x = - a cosh(E)   y = a sinh(E)
De ce point v'  on abaisse la perpendiculaire au grand axe de l'hyperbole, laquelle coupe l'hyperbole du mouvement képlérien au point  v  recherché et on trace le vecteur  Fv qui fait l'angle  v  avec la direction du péricentre.

Pour trouver  E  en fonction de  M, il faut inverser l'équation de Kepler. On utilise ici la méthode itérative de Newton qui, pour une équation  f(x)=0 , détermine x  par les itérations :  xi+1 = xi - f(xi) / f '(xi) ,  ce qui donne ici :

Ei+1   =  Ei -  ( e sinh( Ei ) - Ei - M) / (e cosh( Ei ) - 1)
On démarre les itérations avec  E0 = M . La convergence est quadratique pour tout  M  tant que  M  n'est pas trop grand, comme on peut le vérifier sur l'animation ci-dessus.
Le plus souvent, 3 ou 4 itérations suffisent (on peut arréter l'animation en cliquant sur la figure et l'on peut alors déplacer "à la main" le point M sur le vecteur horizontal placé en bas).

On observe aussi  sur ce mouvement la conséquence de la loi des aires, la vitesse du mobile étant maximum au péricentre et minimum à l'apocentre (la vitesse orthoradiale est proportionnelle à 1/r ). Pour analyser cette vitesse, voir l' hodographe  du mouvement képlérien.

LucDuriez