Mouvement képlérien parabolique

Cette applet montre le mouvement, en fonction du temps,  d'un point décrivant une orbite képlérienne parabolique donnée, de foyer  F  et de paramètre  p.
 
 

Sur la construction suivante, on place le point mobile sur la parabole en fonction de la valeur de l'angle  M = n (t - t0)  où  t0  est l'instant de passage au péricentre et où  n  est une vitesse angulaire constante calculable par une relation analogue à la troisième loi de Kepler du cas elliptique:   n2 p3 = m  ( m est la constante d'attraction du centre F).

La position sur l'orbite est définie par des coordonnées polaires (r, v) où l'angle  v  est appelé anomalie vraie. Cet angle peut être déduit d'une variable auxiliaire  E ,  par la formule :

v = 2 arctan(E)

où  E dépend du temps par l'intermédiaire de l'équation de Barker propre au mouvement parabolique:

M = E/2 + E3/6

On sait résoudre directement cette équation du 3ième degré par le formulaire classique :

E = S + T  où  S = (R + Q)(1/3)  et  T = (R - Q)(1/3)  avec  R = 3M  et  Q = (1 + R2)(1/2)

Géométriquement, la construction de l'angle  v en fonction de  M  s'opère à partir de  E , solution de l'équation de Barker, en plaçant un  point  v'  à l'ordonnée   p E    sur un axe orthogonal en  F  à l'axe de la parabole, puisque dans le repère propre de la parabole, les coordonnées du mobile sont simplement :

x = r cos(v) = p (1 - E2)/2    et     y = r sin(v) =  p E
De ce point  v'  on trace la parallèle au grand axe de la parabole, laquelle coupe cette conique au point  v  recherché  et on trace le vecteur  Fv ; ce dernier fait l'angle  v  avec la direction du péricentre.

Pour trouver  E  en fonction de  M, on peut aussi inverser numériquement l'équation de Barker par la méthode itérative de Newton qui, pour une équation  f(x)=0 , détermine x  par les itérations :  xi+1 = xi - f(xi) / f '(xi) ,  ce qui donne ici :

Ei+1   =  Ei -  ( Ei + Ei3/3 - 2M) / (1 + Ei2)
En démarrant les itérations avec  E0 = M , la convergence est quadratique pour tout  M  tant que  M  n'est pas trop grand, comme on peut le vérifier sur l'animation ci-dessus.
Le plus souvent, 3 ou 4 itérations suffisent (on peut arrêter l'animation en cliquant sur la figure et l'on peut alors déplacer "à la main" le point M sur le vecteur horizontal placé en bas).

On observe aussi  sur ce mouvement la conséquence de la loi des aires, la vitesse du mobile étant maximum au péricentre et minimum à l'apocentre (la vitesse orthoradiale est proportionnelle à 1/r ). Pour analyser cette vitesse, voir l' hodographe  du mouvement képlérien.

LucDuriez