Orbite pour Po-Vo donnés

Trajectoire du mouvement képlérien
en fonction des conditions initiales

Cette applet montre comment les conditions initiales de position et vitesse d'un point P influent sur le type de conique décrite par ce point, en supposant qu'il est attiré par un centre F selon la loi de Newton, la constante d'attraction étant égale à m.

Pour le calcul de l'orbite et son tracé, on considère qu'on a en F une masse attractrice correspondant à m = 4p² (dans le système solaire, cela correspond à l'attraction du Soleil de masse 1, à l'Unité Astronomique comme unité de distance et à l'année comme unité de temps).

Soit une position initiale P_o située à la distance r_o de F, associée à la vitesse initiale V_o . On suppose que le vecteur vitesse V_o fait un angle a compris entre 0 et 180° avec le rayon vecteur initial r_o , cet angle étant mesuré dans le sens direct.
Pour construire la trajectoire, on utilise les intégrales premières du mouvement képlérien:
On calcule d'abord la constante des aires G, module du vecteur

G = r_o x V_o soit encore : G = r_oV_t où V_t est la composante orthoradiale de V_o, puis celle de l'énergie 2h = V²_o - 2µ/r_o On en déduit le demi-grand axe a = - µ /(2h) . Pour h < 0 , la conique est une ellipse et pour h > 0 une hyperbole, le cas h = 0 donnant une parabole (construite ici comme une ellipse dont le second foyer est rejeté à l'infini). On voit donc que a est ici positif pour l'ellipse et négatif pour l'hyperbole.

On calcule enfin le vecteur de Laplace e ,de module e égal à l'excentricité et dirigé depuis le foyer F vers le péricentre. Par définition on a :

e = - (G x V_o)/µ - u où u est le vecteur unitaire de r_o , et comme G et V_o sont orthogonaux, on construit en fait le vecteur -r_oe comme la somme du vecteur r_o et du vecteur orthogonal à V_o (faisant l'angle +p/2 avec V_o) de longueur égale à r_oG V_o /µ . On obtient alors le péricentre de la conique en reportant depuis le foyer F la longueur q = a(1 - e) sur le support et dans le sens du vecteur e , puis le centre C de la conique en reportant depuis le péricentre la longueur a (signée) vers le foyer F, et enfin le second foyer F' symétrique de F par rapport à C. Il reste à tracer l'ellipse ou l'hyperbole de foyers F et F' et passant par le péricentre.

Sur la figure ci-dessus, on constate que la conique ainsi construite passe bien par P_o et est tangente en P_o à V_o .
Cette applet permet de voir comment l'orbite se modifie quand on déplace ro, ou quand on change V_o (en déplaçant l'extrémité Vo de ce vecteur, ou le point D pour modifier sa direction). Vérifier que le demi-grand axe ne dépend pas de la direction de V_o .

On donne aussi sur le support de V_o les positions Vc et Vp correspondant aux vitesses circulaires et paraboliques. (Vc = sqrt( µ / r_o) et Vp = sqrt(2) Vc )
On pourra vérifier que pour V_o = Vc , l'orbite n'est circulaire que pour V_o orthogonal à r_o et que sinon l'orbite est elliptique de grand axe parallèle à V_o .
Pour V_o = Vp , l'orbite est parabolique quelque soit la direction de V_o .

Tester notamment la direction a = 90°. Que se passe-t-il quand a tend vers 0 ou 180° ?
On pourra vérifier par le calcul les valeurs du demi-grand axe et de l'excentricité, ainsi que la période dans le cas du mouvement elliptique. Déterminer aussi les distances du périhélie et de l'aphélie.

LucDuriez