Trajectoire du mouvement képlérien
en fonction des conditions initiales

Cette applet montre comment les conditions initiales de position et vitesse d'un point P  influent sur le type de conique décrite par ce point, en supposant qu'il est attiré par un centre F selon la loi de Newton, la constante d'attraction étant égale à m.





Pour le calcul de l'orbite et son tracé, on considère qu'on a en F une masse attractrice correspondant à m = 4p² (dans le système solaire, cela correspond à l'attraction du Soleil de masse 1,  à l'Unité Astronomique comme unité de distance et à l'année comme unité de temps).

Soit une position initiale  Po située à la distance ro de F, associée à la vitesse initiale Vo . On suppose que le vecteur vitesse  Vo  fait un angle  a   compris entre 0 et 180° avec le rayon vecteur initial ro , cet angle étant mesuré dans le sens direct.
Pour construire la trajectoire, on utilise les intégrales premières du mouvement képlérien:
On calcule d'abord la constante des aires G, module du vecteur

 G = ro x Vo
soit encore :  G = ro V   où  Vt est la composante orthoradiale de Vo, puis  celle de l'énergie
2h = V²o - 2µ/ro
On en déduit le  demi-grand axe  a = - µ /(2h) . Pour  h < 0 , la conique est une ellipse et pour  h > 0 une hyperbole, le cas  h = 0 donnant une parabole (construite ici comme une ellipse dont le second foyer est rejeté à l'infini). On voit donc que  a  est ici positif pour l'ellipse et négatif pour l'hyperbole.

On calcule enfin le vecteur de Laplace e ,de module  e  égal à l'excentricité et dirigé depuis le foyer F vers le péricentre.  Par définition on a :

 e =  - (G x Vo)/µ - u
u  est le vecteur unitaire de ro , et comme G et Vo  sont orthogonaux, on construit en fait le vecteur   -roe   comme la somme du vecteur ro et du vecteur orthogonal à Vo  (faisant l'angle +p/2 avec Vo) de longueur égale à   roG Vo /µ . On obtient alors le péricentre de la conique en reportant depuis le foyer F  la longueur  q = a(1 - e)  sur le support et dans le sens du vecteur e , puis le centre C de la conique en reportant depuis le péricentre la longueur  a  (signée) vers le foyer  F, et enfin le second foyer  F' symétrique de F par rapport à C. Il reste à tracer l'ellipse ou l'hyperbole de foyers F et F' et passant par le péricentre.

Sur la figure ci-dessus, on constate que la conique ainsi construite passe bien par  Po et est tangente en Po à Vo .
Cette applet permet de voir comment l'orbite se modifie quand on déplace ro, ou quand on change  Vo (en déplaçant l'extrémité Vo de ce vecteur, ou le point D pour modifier sa direction). Vérifier que le demi-grand axe ne dépend pas de la direction de  Vo  .

On donne aussi sur le support de Vo les positions Vc et Vp correspondant aux vitesses circulaires et paraboliques. (Vc = sqrt( µ / ro) et Vp = sqrt(2) Vc )
On pourra vérifier que pour Vo = Vc , l'orbite n'est circulaire que pour Vo orthogonal à ro et que sinon l'orbite est elliptique de grand axe parallèle à Vo .
Pour Vo = Vp , l'orbite est parabolique quelque soit la direction de Vo .

Tester notamment la direction  a = 90°. Que se passe-t-il quand  a  tend vers 0 ou 180° ?
On pourra vérifier par le calcul les valeurs du demi-grand axe et de l'excentricité, ainsi que la période dans le cas du mouvement elliptique. Déterminer aussi les distances du périhélie et de l'aphélie.
 
 

LucDuriez