Perturbations - Elements osculateurs

On montre sur la figure ci-dessous comment se manifestent les effets d'une perturbation sur les éléments d'orbite.
En effet, lorsque l'accélération d'un corps  C  peut être mise sous forme de la somme

d'une partie képlérienne    - m/r2    et d'une perturbation  P
on peut représenter son mouvement par une suite continue de mouvements képlériens de même masse centrale  m .

En effet, à chaque instant  t, on peut calculer les éléments d'une orbite képlérienne à partir de la masse centrale m  et des vecteurs position et vitesse de  C  à cet instant (voir OrbiteParPoVo.html); cette orbite serait parcourue par  C  si, à partir de cet instant, la perturbation  P  s'annulait. Comme en réalité la perturbation existe, les variations de la vitesse ne sont pas celles d'un mouvement képlérien et donc, à l'instant  t+dt, la position et la vitesse de C ne se trouvent pas sur l'orbite calculée à partir des position et vitesse à l'instant t. L'orbite calculée à partir des position-vitesse à l'instant  t+dt  diffère donc de celle calculée à l'instant t.   Les éléments de cette orbite sont appelés "éléments osculateurs" et sont en fait des fonctions du temps permettant de représenter le mouvement comme un mouvement képlérien à éléments variables.

Comme exemple proche du problème képlérien étudié précédemment, on considère le  mouvement de  C  autour d'un corps central non ponctuel représenté par une perturbation "en J2" et en supposant le mouvement confiné dans le plan équatorial de ce corps. On a alors une accélération centrale de la forme :

A(r) = - m/r2 (1 + 3/2  J2 ae2 /r2)
où  ae  est le rayon équatorial du corps central et   J2  un coefficient caractérisant l'aplatissement de ce corps (supposé de révolution autour d'un axe, le plan équatorial étant perpendiculaire à cet axe). La perturbation est donc ici de la forme :   P = -  3m/2  J2 ae2 /r4
Pour mettre en évidence les éléments osculateurs, on intègre le mouvement réel par la méthode d'intégration numérique de Runge Kutta d'ordre 4  appliquée au système :
d V / dt  = A(r)
d r / dt =  V
avec l'accélération perturbée donnée ci-dessus: Appliquant cette méthode sur un pas d'intégration h, on détermine les orbites képlériennes aux instants  t  et  t+h  à partir des vecteurs position et vitesse à ces instants (en utilisant OrbiteParPoVo.html);  on peut en déduire les variations des éléments d'orbite en faisant tendre  h  vers zéro.
La figure suivante présente cette intégration sur un pas  h  en visualisant les orbites aux instants  t  et  t+h . On peut faire tendre  h vers zéro, et modifier la valeur de J2  (en fait valeur de  J2 ae2, ou de J2 seul en supposant  ae = 1); on peut aussi changer les positions et vitesse à l'instant t en déplaçant les points  P(t) et V(t).

On peut comparer sur cette figure la valeur approchée des dérivées (par exemple  De/h  où  De= e(t+h)-e(t) ) à la valeur exacte  (par exemple  de/dt) donnée par les équations de Lagrange que l'on rappelle ici dans le cas d'une orbite d'inclinaison nulle sur l'équateur :

(1/a) da/dt = -3 n e J2 / sqrt(1-e2) x (ae/a)2(a/r)4 sin(v)
de/dt = -(3/2) n  J2  sqrt(1-e2) x (ae/a)2(a/r)4 sin(v)
dw/dt =  (3/2) n  J2  sqrt(1-e2) / e  x (ae/a)2(a/r)4 cos(v)
dM/dt - n  = 3 n  J2  (ae/a)2(a/r)3 - sqrt(1-e2)  dw/dt
où  a  et  e  sont le demi-grand axe et l'excentricité,  M  et n  l'anomalie moyenne et le moyen mouvement,  r  la distance au centre attractif, l'anomalie vraie et   w  la longitude du péricentre (voir aussi les formules (5.34)  à  (5.39)  du Cours de Mécanique Céleste ) Bien sûr,  n(t)  est déduit de  a(t)  par la troisième loi de Kepler :

n(t)2 a(t)3m



 
 

LucDuriez