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Perturbations
- Elements osculateurs |
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On montre sur la figure ci-dessous
comment se manifestent les effets d'une perturbation sur les éléments
d'orbite.
En effet, lorsque l'accélération
d'un corps C peut être mise sous forme de la somme
d'une partie képlérienne
- m/r2
et d'une
perturbation P
on peut
représenter son mouvement par une suite continue de mouvements képlériens
de même masse centrale m
.
En effet,
à chaque instant t, on peut calculer les éléments
d'une orbite képlérienne à partir de la masse centrale
m
et des vecteurs position et vitesse de C à cet instant
(voir OrbiteParPoVo.html); cette orbite
serait parcourue par C si, à partir de cet instant,
la perturbation P s'annulait. Comme en réalité
la perturbation existe, les variations de la vitesse ne sont pas celles
d'un mouvement képlérien et donc, à l'instant
t+dt, la position et la vitesse de C ne se trouvent pas sur l'orbite calculée
à partir des position et vitesse à l'instant t. L'orbite
calculée à partir des position-vitesse à l'instant
t+dt diffère donc de celle calculée à l'instant
t. Les éléments de cette orbite sont appelés
"éléments osculateurs"
et sont en fait des fonctions du temps permettant de représenter
le mouvement comme un mouvement képlérien à éléments
variables.
Comme exemple proche du problème
képlérien étudié précédemment,
on considère le mouvement de C autour d'un corps
central non ponctuel représenté par une perturbation "en
J2" et en supposant le mouvement confiné dans le plan
équatorial de ce corps. On a alors une accélération
centrale de la forme :
A(r)
= - m/r2
(1 + 3/2 J2 ae2 /r2)
où ae
est le rayon équatorial du corps central et J2
un coefficient caractérisant l'aplatissement de ce corps (supposé
de révolution autour d'un axe, le plan équatorial étant
perpendiculaire à cet axe). La perturbation est donc ici de la forme
: P = - 3m/2
J2 ae2 /r4
Pour mettre en évidence
les éléments osculateurs, on intègre le mouvement
réel par la méthode d'intégration numérique
de Runge Kutta d'ordre 4 appliquée au système :
d
V
/ dt = A(r)
d r
/ dt = V
avec l'accélération
perturbée donnée ci-dessus: Appliquant cette méthode
sur un pas d'intégration h, on détermine les orbites képlériennes
aux instants t et t+h à partir des vecteurs
position et vitesse à ces instants (en utilisant
OrbiteParPoVo.html);
on peut en déduire les variations des éléments d'orbite
en faisant tendre h vers zéro.
La figure suivante présente
cette intégration sur un pas h en visualisant les orbites
aux instants t et t+h . On peut faire tendre h
vers zéro, et modifier la valeur de J2 (en fait
valeur de J2 ae2, ou de J2
seul en supposant ae = 1); on peut aussi changer les positions
et vitesse à l'instant t en déplaçant les points
P(t) et V(t).
On peut comparer sur cette
figure la valeur approchée des dérivées (par exemple
De/h où De= e(t+h)-e(t) ) à la valeur exacte
(par exemple de/dt) donnée par les équations de Lagrange
que l'on rappelle ici dans le cas d'une orbite d'inclinaison nulle sur
l'équateur :
(1/a)
da/dt = -3 n e J2 / sqrt(1-e2) x (ae/a)2(a/r)4
sin(v)
de/dt
= -(3/2) n J2 sqrt(1-e2) x (ae/a)2(a/r)4
sin(v)
dw/dt
= (3/2) n J2 sqrt(1-e2) / e
x (ae/a)2(a/r)4 cos(v)
dM/dt
- n = 3 n J2 (ae/a)2(a/r)3
- sqrt(1-e2) dw/dt
où a
et e sont le demi-grand axe et
l'excentricité, M et
n
l'anomalie moyenne et le moyen mouvement,
r
la distance au centre attractif,
v
l'anomalie vraie et w la
longitude du péricentre (voir aussi les formules (5.34) à
(5.39) du Cours
de Mécanique Céleste ) Bien sûr, n(t)
est déduit de a(t) par la troisième loi de Kepler
:
n(t)2
a(t)3 = m
LucDuriez