Eclipses et Occultations avec "Cabri-Géomètre"
Le passage de Vénus devant le Soleil

L. Duriez  (Laboratoire d'Astronomie de Lille, USTL-IMCCE)
Luc.Duriez@univ-lille1.fr
dernière révision : 24 Mai 2004


On se propose ici de préciser quelques aspects géométriques et cinématiques des éclipses et autres phénomènes analogues qu'on observe depuis la Terre, en insistant toutefois essentiellement sur le prochain passage de Vénus devant le Soleil.

Les figures présentées dans la suite ont été créées avec le logiciel de géométrie dynamique Cabri-Géomètre  II. Elles sont manipulables avec la souris et peuvent être animées (voir ici comment). Ce document et toutes ses figures sont téléchargeables dans l'archive animations_Venus2004.zip
 

Géométrie des éclipses, des occultations et des passages

On dit qu'un astre  A  est éclipsé par un astre  B  quand  A se trouve dans le cône d'ombre portée par  B  dans la direction opposée au Soleil. Cela correspond à un quasi alignement du Soleil et des astres B  et  A  dans cet ordre.
Inversement, on dit que dans cette situation, vu de A, le Soleil est occulté par l'astre  B, ou bien que  B  passe devant (ou transite devant) le Soleil.

Ainsi, quand la Lune passe dans le cône d'ombre de la Terre, on a une éclipse de Lune et quand la Terre passe dans le cône d'ombre de la Lune, on a une éclipse de Terre; cependant, comme les observateurs sont généralement sur Terre, on voit alors passer la Lune devant le Soleil. On devrait dire en toute rigueur que dans cette situation on observe une occultation du Soleil par la Lune, mais on parle alors abusivement d'éclipse de Soleil.

Dans le cône d'ombre portée par une planète (ou un satellite), on distingue un cône d'ombre totale (à l'intérieur duquel le Soleil est totalement invisible),  et un cône de pénombre (à l'intérieur duquel une partie du Soleil est encore visible, donnant un éclairement partiel). On présente ci-dessous ces cônes en coupe dans un plan contenant l'axe Soleil-planète, axe de révolution des surfaces





Ces cônes sont limités par deux surfaces coniques tangentes l'une intérieurement et l'autre extérieurement au globe solaire et au globe planétaire : Le cône d'ombre totale  est figuré en noir, le cône de pénombre en gris. Dans ce dernier on distingue une zone centrale gris sombre depuis laquelle on pourrait voir le Soleil comme un anneau, la partie centrale étant cachée par la planète, et une zone latérale gris clair d'où le Soleil pourrait être vu comme un croissant.
 
 

Eclipses de Soleil et de Lune

La figure suivante montre comment les cônes d'ombre de la Terre et de la Lune se présentent dans un repère plan confondu avec le plan orbital de la Terre, ou écliptique, et tournant avec la Terre autour du Soleil, et en supposant que la Lune a dans ce même plan un mouvement circulaire centré sur la Terre. Quand la Lune passe dans le cône d'ombre de la Terre, il y a éclipse de Lune, et quand le cône d'ombre de la Lune balaye la Terre, il y a occultation du Soleil par la Lune (ou éclipse de Soleil), totale pour les observateurs terrestres situés dans l'ombre totale, ou partielle pour ceux situés dans la pénombre. Dans cette situation simplifiée, les phénomènes d'éclipse se répètent périodiquement, avec la période de la Lune dans le repère tournant, appelée période synodique ou lunaison. C'est aussi la période des phases de la Lune, soit 29.53 jours.
 
 

Sur la figure suivante, on visualise en même temps le mécanisme des éclipses et l'occultation du Soleil par la Lune telle qu'elle serait vue depuis une position terrestre; on introduit aussi l'excentricité (exagérée) de l'orbite lunaire et la précession (accélérée) de son grand axe :
On voit ainsi quelles circonstances conduisent soit à une éclipse totale de Soleil, soit à une éclipse annulaire; quand l'observateur est situé dans la pénombre (gris clair), il voit seulement une éclipse partielle














Passages ou transits de Vénus devant le Soleil

Sur cette animation, vue de la Terre,  Vénus passe devant puis derrière le Soleil aux conjonctions inférieures et supérieures, et s'en écarte à droite et à gauche d'un angle maximum de  46°3 lors de ses plus grandes élongations.
L'observation de cet angle permet de déterminer le rapport des distances  a  et  ao  de Vénus et de la Terre au Soleil :  a / ao = sin 46°3  = 0.723

L'orbite de Vénus est supposée ici dans le plan de l'écliptique, et la Terre étant présentée fixe par rapport au Soleil, la figure présente le mouvement de Vénus dans un repère centré au Soleil (ou héliocentrique) et tournant avec la Terre. Dans ce repère, la période de Vénus est la période synodique, soit  583.92136 jours, alors que dans un repère de directions fixes, la période sidérale de Vénus vaut  224.70080 jours  et celle de la Terre  365.25636 jours
Cette période  Ps  se calcule à partir des deux périodes sidérales   T  et To  de Vénus et de la Terre :

1 / Ps  = 1 / T  -  1 / To
cette formule indiquant simplement que la vitesse angulaire synodique est la différence des vitesses angulaires sidérales de Vénus et de la Terre. C'est avec cette période synodique qu'on voit ici passer Vénus devant le Soleil, les orbites de Vénus et de la Terre étant supposées coplanaires. Cette période est aussi celle des conjonctions héliocentriques de Vénus et de la Terre .

 On montre aussi l'effet de parallaxe (exagéré ici) lorsque la position O de l'observateur terrestre change de latitude.
 

Du fait du rayon apparent du Soleil vu de la Terre (16'), et du rapport des distances (0.723), la dimension du cône d'ombre de Vénus au niveau de la Terre correspond, vu du Soleil à un angle de  6' environ. Il suffit que la Terre soit dans ce cône d'ombre pour voir Vénus devant le Soleil. On n'a donc pas besoin d'un alignement strict des centres du Soleil et des planètes pour voir Vénus devant le Soleil : Il suffit que les directions héliocentriques des deux planètes forment un angle inférieur à  0°.1 environ.










La 3ième dimension

Toutes les figures précédentes montrent les phénomènes d'éclipse ou de passage en considérant que les orbites de la Lune ou de Vénus sont dans le plan de figure, c'est-à-dire le plan orbital de la Terre ou écliptique : En réalité, ces orbites font un angle petit mais non nul avec ce plan (inclinaison de  5° pour la Lune et de 3°.4 pour Vénus). Les alignements conduisant aux éclipses ne peuvent alors avoir lieu que lorsque la Lune ou Vénus traversent le plan de l'écliptique sur la droite d'intersection de ce plan et du plan de leur orbite. Cette droite d'intersection est appelée ligne des noeuds. Le noeud ascendant correspond à une traversée de l'écliptique en montant (passage d'une latitude négative à une latitude positive), et le noeud descendant, diamétralement opposé, à la traversée dans l'autre sens.

La figure suivante montre en perspective comment la Terre peut être amenée à traverser le cône d'ombre de Vénus, lorsque Vénus et la Terre passent en conjonction près d'un des noeuds, permettant alors de voir depuis la Terre un passage de Vénus devant le Soleil.

D'après ce qui précède, l'observation d'un passage de Vénus devant le Soleil se produira si la latitude de Vénus est comprise entre -0°.1 et +0°.1, c'est-à-dire dans les voisinages  V  centrés sur chacun des 2 noeuds, et à condition que la conjonction de Vénus et de la Terre (en longitude) se produise dans l'un de ces voisinages.
Avec l'inclinaison  i = 3°.4, cette contrainte sur la latitude  bmax  de Vénus implique que chaque voisinage  V  corresponde pour Vénus à un écart en longitude  L = 1°.68  de part et d'autre du noeud, donné par cette relation approchée :
L =  bmax / sin i

Vénus parcours alors un tel voisinage  V  en 2.1 jours tandis que la Terre met  3.4 jours pour le traverser.
 

Le passage de Vénus devant le Soleil en 2004

En voici une animation montrant schématiquement comment le passage de Vénus devant le Soleil est vu depuis la Terre, avec simultanément le passage de la Terre dans le cône d'ombre de Vénus tel qu'il serait vu depuis le Soleil.

On a pour cela figuré dans un plan passant par la Terre et perpendiculaire à la direction Terre-Soleil,  un cercle centré sur Vénus représentant l'intersection du cône d'ombre de Vénus avec ce plan (pour simplifier, on a seulement considéré le cône d'ombre totale, prolongé vers la Terre au delà de son sommet, ignorant le cône de pénombre, et sans respecter l'échelle car en réalité il devrait avoir un rayon égal à environ 40 fois le rayon de la Terre); la Terre et Vénus se déplacent dans ce plan (en projection pour Vénus) sur deux droites faisant entre elles un petit angle (en réalité  3°.4) et se coupant en un noeud ; leur vitesse sur ces droites est proportionnelle à leur vitesse angulaire de rotation autour du Soleil. On voit ainsi Vénus rattrapper puis dépasser la Terre au voisinage du noeud. La Terre se trouve à une distance minimale du centre de l'ombre à un instant très proche de celui de la conjonction en longitude; on voit alors Vénus passer au plus près du centre du Soleil.

En Juin 2004, Vénus et la Terre passent presque simultanément au noeud descendant, leur conjonction ayant lieu peu après leur passage à ce noeud, alors que la latitude de Vénus est négative.
 
 
 
 
 

Les passages de Vénus devant le Soleil sont rares
 

Ils se répètent avec un cycle de 243 ans et des cycles partiels de 8 ans et de 121.5 ans :


 
 

Périodicités des transits de Vénus

Le retour des transits de Vénus est lié aux passages de Vénus et de la Terre aux noeuds. Or la direction des noeuds de l'orbite de Vénus sur l'écliptique varie lentement du fait des perturbations dues aux autres planètes et notamment à Jupiter : Cette ligne des noeuds tourne autour du Soleil dans l'écliptique à raison de 17 ".85 par an dans le sens rétrograde (sens opposé aux mouvements héliocentrique des planètes). Les planètes repassent donc par un même noeud au bout d'un temps légèrement inférieur à leur période sidérale.
A partir d'un instant où  la Terre  passe à l'un des noeuds, elle met ainsi  365.25133 jours pour y repasser (période draconitique), et de son côté Vénus met 224.69889 jours pour y revenir.
Deux conjonctions successives de Vénus et de la Terre restent espacées de la période synodique de   583.92136 jours.
 

Si l’on fait l'hypothèse d’un passage simultané de la Terre et de Vénus à un même nœud, on pourra avoir leur retour simultané à ce même nœud si il existe deux entiers  p  et  q  tels que l ’on ait:

p x 365.25133  =  q x 224.69889
Dans cette durée, on aura bien sûr  aussi un nombre entier de périodes synodiques :
p x 365.25133  =  (q - p) x 583.92136

En développant le rapport des deux périodes draconitiques en fractions continues, on trouve que plusieurs couples (p, q) représentent des approximations successives de ce rapport avec une précision intéressante et des entiers relativement petits:   (8, 13), (235, 382),  (243, 395)  et (21619, 35142) qui ne donnent pas une égalité stricte des 2 membres de chacune de ces expressions, mais seulement une quasi-égalité (la différence de ces 2 membres donne un écart (ou nombre de jours) assez petit mais non nul).

Si d'une façon plus réaliste on part d'un transit observé dans le voisinage  V  d'un noeud, le retour d'un transit dans ce même voisinage pourra être réalisé si, avec ces approximations, ces mêmes écarts sont inférieurs aux durées de passage des planètes dans ce voisinage (2.1 j pour Vénus et 3.4 j pour la Terre).
 
 

La périodicité de 8 ans

Le rapport  8/13  permet de calculer ce qui se passera dans 8 ans :
Entre les passages de la Terre au noeud en 2004 et en 2012, il s'écoule    8 x 365.25133  = 2922.01  j
Entre les passages de Vénus au noeud en 2004 et en 2012, il s'écoule       13 x 224.69889 = 2921.08  j
Entre les conjonctions inférieures de Vénus en 2004 et 2012, il s'écoule    5 x 583.92136  = 2919.61  j

Donc, au bout de 8 ans, l'écart entre ces 2 dernières durées (1.47 j) est suffisamment faible (inférieur à 2.1 j) pour que Vénus et la Terre se retouvent de nouveau en conjonction  près du noeud descendant, mais comme 2919.61 est inférieur à 2921.08, la conjonction de 2012  intervient  avant que Vénus ne repasse au noeud, avec une latitude encore positive. Ainsi, on voit qu'en 2012 le passage de Vénus devant le Soleil s'effectue  dans la partie "haute" du Soleil, alors qu'en 2004, il s'effectuait dans la partie "basse".

En 1996 et en 2020, soit 8 ans avant 2004 et 8 ans après 2012, la conjonction de Vénus et de la Terre intervient trop loin du noeud, en dehors du voisinage V .  Il faudrait que la "longueur"  2L  de ce voisinage soit plus grande (ce qui correspondrait à une inclinaison plus faible des 2 orbites) pour avoir la possibilité d'observer par exemple  3 passages de Vénus devant le Soleil à intervalles de 8 ans.
Remarque : Actuellement, il y a 2 passages espacés de 8 ans , mais quand à une date  t  le passage de Vénus s'effectue devant la partie centrale du Soleil, la durée 1.47 j étant supérieure à la moitié de 2.1 j, aux deux dates  t+8 ans et t-8 ans la conjonction se fait à l'extérieur du voisinage  V et la périodicité de 8 ans disparaît.
 
 

Les périodicités de 243 ans et de 121.5 ans

Le rapport  243/395  permet de calculer ce qui se passera dans 243 ans :
Entre les passages de la Terre au noeud en 2004 et en 2247, il s'écoule    243 x  365.25133  j  =  88756.073 j
Entre les passages de Vénus au noeud en 2004 et en 2247, il s'écoule    395 x  224.69889  j  =  88756.061 j
Entre les conjonctions inférieures de Vénus en 2004 et 2247, il s'écoule    152  x  583.92136  j  =  88756.047 j
La quasi égalité de ces 3 durées montre qu'il y aura en 2247 un passage de Vénus devant le Soleil dans des conditions quasi identiques à celles de 2004 : passage en Juin  peu après le passage au noeud descendant. Il sera suivi en 2255 d'un autre passage dans des conditions quasi identiques à celles de 2012.
Notons que le rapport  235/382 n'apporte rien de neuf: c'est la périodicité de 8 ans vue d'une autre façon à l'intérieur de la période de 243 ans (243 - 8 = 235  et  395 - 13 = 382).
Quant-au rapport  21619/35142, il conduit à une périodicité quasi stricte de 21619 ans, trop longue cependant pour être prise en compte, même à moyen terme.
 

Entre Juin 2004 et  Décembre 2125, on compte 121.5 années (moitié de 243 ans).  La Terre qui était dans le voisinage du noeud descendant en Juin 2004 sera près du noeud ascendant en Décembre 2125.
Entre les passages de la Terre en ces noeuds, il s'écoule      121.5 x 365.25133  = 44378.04 j
Entre les passages de Vénus en ces noeuds, il s'écoule       197.5 x 224.69889 = 44378.03 j
Entre les conjonctions de 2004 et de 2125, il s'écoule       76.0 x 583.92136 = 44378.02 j
La quasi égalité de ces 3 durées montre qu'en 2125, une conjonction de Vénus et de la Terre aura lieu dans le voisinage du noeud ascendant, situation quasi-symétrique de celle de 2004. On pourrait croire qu'au bout de 197 plus une demi période, Vénus passe d'une latitude négative lors de la conjonction de 2004 à une latitude positive (position symétrique par rapport au Soleil) lors de la conjonction de 2125, mais à cause du mouvement non uniforme des planètes dû à l'excentricité de leur orbite, les passages aux noeuds ascendants et descendants ne se font pas de manière symétrique :  le transit de 2125 aura lieu à une latitude négative, peu avant le passage à ce noeud.

On aura alors dans le voisinage  V  du noeud ascendant la possibilité d'un deuxième transit à 8 ans d'intervalle et correspondant à une latitude positive lors de la conjonction. C'est alors en 2117 qu'aura lieu ce deuxième transit, peu après le passage à ce noeud. D'ailleurs, l'excentricité des orbites et la non uniformité des mouvements font que les voisinages   V  aux noeuds ascendant et descendant diffèrent sensiblement.

Voici schématiquement comment sera perçu le transit de 2117 :










Remarque : Le passage de Vénus devant le Soleil en 2125 pourrait être une répétition quasi parfaite de celui qui eut lieu au même noeud 243 ans plus tôt, en Décembre 1882, tout comme, 8 ans auparavant, en 1874, il y eut également un passage de Vénus devant le Soleil. Cependant, l'approximation  243/395  montre qu'entre 395 périodes de Vénus et 152 périodes synodiques, il y a un écart de 0.014 jour, suffisant pour produire un petit décalage entre des transits espacés de 243 ans; il s'en suit que progressivement, ces transits se font par exemple d'abord dans la partie "haute" du Soleil, passant ensuite dans la partie centrale puis dans la partie  "basse" en un cycle de plusieurs milliers d'années. Ainsi au noeud descendant, après  13 passages doubles (espacés de 8 ans) séparés chacun de 243 ans, succèdent 5 passages simples à 243 ans d'intervalle, puis encore 13 passages doubles, réalisant un cycle de 31 passages (doubles ou simples) répartis sur environ 7500 ans. Mais à cause de la différence des voisinages  V aux 2 noeuds, au noeud ascendant, on a un cycle de 19 passages (5 doubles, 9 simples et 5 doubles) sur 4600 ans.
 
 
 
 
 

Quand le mouvement de Vénus est rétrograde
 

Si on pouvait voir les étoiles en même temps que le Soleil, voici ce que donnerait le passage de Vénus devant le Soleil le 8 Juin 2004 en observant dans une direction fixe par rapport aux étoiles :  Le Soleil se déplace vu de la Terre de la droite vers la gauche (sens direct), tandis que Vénus va dans l'autre sens (rétrograde).
 
 

(figure réalisée par R. Boninsegna, Bel, voir www.vt-2004.org/animations)











Voici une animation qui explique ce phénomène de la rétrogradation des planètes, au voisinage le la conjonction inférieure pour Vénus ou Mercure, ou de l'opposition pour les planètes extérieures telles que Mars, Jupiter ...

Sur cette figure, l'orbite de la planète  P  est intérieure à celle de la Terre  T  mais les trajectoires de  P  vu de T ou  de T  vu de  P  sont données par les lieux décrits par l'extrémité de vecteurs opposés  TP  ou  PT. Elles présentent donc les mêmes rétrogradations chaque fois que les planètes  T  et  P  sont en conjonction héliocentrique (ou dans le voisinage de leur distance minimum. En fait, le mouvement géocentrique des planètes quasi épicycloïdal (il le serait strictement si les orbites héliocentriques des planètes étaient circulaires et coplanaires).

Dans cette figure, le mouvement de  P  est reporté à partir de celui de  T  de manière que la 3ème loi de Képler soit respectée (vitesse de  P  proportionnelle à celle de  T , divisée par la racine carrée du rapport des rayons).

Les positions géocentriques de P telles que le vecteur  ToPo soit tangent à l'épicycloïde (séparant les phases de mouvement direct et rétrograde) sont appelées stations à cause de l'apparente fixité de la direction de la planète en ces positions.

Avec cette figure, on peut aussi chercher les résonances orbitales (quand le rapport des périodes est égal à celui de 2 entiers) en modifiant les rayons d'orbite de façons à obtenir une trajectoire épicycloïdale fermée.
 

Observation du passage du 8 Juin 2004

L'observation de ce passage est l'occasion de refaire de manière moderne une détermination de la distance Terre-Soleil en km, comme celles qui furent entreprises lors des quatre derniers passages aux 18e et 19e siècle.
C'est l ’opération « VenusTransit-2004 » à laquelle tout amateur peut participer (voir les références)

ATTENTION cependant à ne pas observer à l’œil sans précaution :

Comme pour l’éclipse de Soleil de 1999, utilisez des lunettes ou des filtres, ou mieux encore observez le Soleil par projection sur un écran.

Voir le site   www.imcce.fr/vt2004/fr/mesure.html    pour tous conseils et précisions.

En vous inscrivant auprès de ce site, vous participerez avec de nombreux autres observateurs répartis sous toutes les latitudes, à une nouvelle détermination de la distance Terre-Soleil.

Il vous suffira de transmettre les coordonnées géographiques du lieu où vous observez et ainsi que les heures observées du début et de la fin du passage de Vénus devant le Soleil.
 
 

Références

On trouvera de nombreuses informations sur les passages de Vénus ou de Mercure devant le Soleil sur le site de l ’Institut de Mécanique Céleste et de Calcul d’Ephémérides :

www.imcce.fr/vt2004/fr

On y trouvera aussi de nombreux liens vers les organismes qui  participent à l ’opération « VenusTransit-2004 »

On trouvera des explications simples sur le calcul de la distance Terre-Soleil à partir du passage de Vénus sur le site de CLEA (Comité de Liaison Enseignants-Astronomes) :

www.ac-nice.fr/clea

Ce document et d’autres animations sont aussi accessibles sur le site :  www.univ-lille1.fr/lal

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